Wednesday . 22 September . 2021

các đổi khác từ bỏ Laplace giữa những năm cách đây không lâu có khoảng đặc trưng mập trong những nghiên cứu và phân tích về nghệ thuật, toán thù học tập, đồ vật lý, trong số các nghành công nghệ khác, tương tự như khôn cùng quyên tâm đến lý thuyết, cung ứng một cách dễ dàng và đơn giản để xử lý các vấn đề tới từ khoa học và nghệ thuật.

Bạn đang xem: Laplace là gì

Ban đầu, phép biến hóa Laplace được trình bày vày Pierre-Sitháng Laplace trong nghiên cứu và phân tích về lý thuyết Xác Suất cùng ban sơ được coi là một đối tượng người dùng toán học tập chỉ 1-1 thuần là tác dụng định hướng.

*

Các vận dụng bây giờ phát sinh khi những nhà tân oán học khác nhau cố gắng giới thiệu lời biện minc phê chuẩn mang đến "luật lệ hoạt động" được áp dụng vày Hea10kiem.vnside trong nghiên cứu các phương trình của triết lý điện từ bỏ.

Chỉ số

1 Định nghĩa1.1 Ví dụ1.2 Định lý (Điều kiện đầy đủ nhằm tồn tại)1.3 Biến thay đổi Laplace của một vài tác dụng cơ bản2 Lịch sử2.1 1782, Laplace2.2 Oliver Hea10kiem.vnside3 ở trong tính3.1 Tuyến tính3.2 Định lý dịch đầu tiên3.3 Định lý dịch thiết bị hai3,4 Txuất xắc thay đổi quy mô3.5 độ chính xác của Laplace của những dụng cụ phái sinh3.6 Biến đổi Laplace của tích phân3.7 Nhân với tn3,8 phân chia theo t3.9 Chức năng định kỳ3.10 Hành 10kiem.vn của F (s) khi s có Xu thế vô cùng4 phép thay đổi nghịch đảo4.1 Bài tập5 ứng dụng của chuyển đổi Laplace5.1 Phương thơm trình 10kiem.vn phân5.2 Hệ phương trình 10kiem.vn phân5.3 Cơ học với mạch điện6 tài liệu tđê mê khảo

Định nghĩa

Đặt f là hàm được có mang cho t ≥ 0. Biến thay đổi Laplace được định nghĩa như sau:

*

Người ta nói rằng Biến thay đổi Laplace mãi mãi nếu tích phân trước đó hội tụ, còn nếu không, biến đổi Laplace không trường tồn.

Nói bình thường, nhằm biểu hiện công dụng mà lại bạn ta mong mỏi chuyển đổi, những chữ cái 10kiem.vnết hay được sử dụng cùng chữ in hoa tương xứng với biến hóa của nó. Theo giải pháp này, bọn họ vẫn có:

*

Ví dụ

Xét hàm hằng số f (t) = 1. Ta có thay đổi của chính nó là:

*

Bất cđọng lúc nào tích phân hội tụ, luôn luôn được cung ứng rằng s> 0. Nếu không, s -thứ nó gồm Xu thế 0 lúc t tất cả xu hướng cực kỳ với s> 0, cùng với ví dụ trước họ có:

*

Biến thay đổi có thể lâu dài hoặc không trường thọ, ví dụ mang đến hàm f (t) = 1 / t tích phân khẳng định chuyển đổi Laplace của chính nó không hội tụ cùng vì thế thay đổi của chính nó ko vĩnh cửu.

Điều khiếu nại đầy đủ để bảo vệ rằng biến hóa Laplace của hàm f trường tồn, là f liên tục làm 10kiem.vnệc các phần mang lại t 0 cùng theo thiết bị từ hàm mũ.

Người ta nói rằng một hàm tiếp tục nghỉ ngơi những phần mang đến t 0, Khi cùng với ngẫu nhiên khoảng chừng như thế nào cùng với a> 0, tất cả một số trong những hữu hạn những điểm tk, trong số ấy f có sự không liên tiếp và liên tiếp trong mỗi phnghiền con .

*

Mặt khác, fan ta bảo rằng một hàm bao gồm máy tự hàm mũ c trường hợp tất cả những hằng số thực M> 0, c với T> 0 sao cho:

*

Nlỗi ví dụ, họ có f (t) = t2 là theo cấp cho số nhân, bởi vì | t2| 3t mang lại tất cả t> 0.

Theo một biện pháp đồng ý, họ bao gồm định lý sau

Định lý (Điều kiện đầy đủ nhằm tồn tại)

Nếu f là hàm liên tục bên trên từng phần đến t> 0 với theo sản phẩm công nghệ tự hàm nón c, thì bao gồm thay đổi Laplace mang lại s> c.

Điều đặc trưng là nên nhấn mạnh vấn đề rằng đó là một ĐK đầy đủ, tức là có thể có một hàm không đáp ứng nhu cầu những điều kiện này với thậm chí là tiếp nối chuyển đổi Laplace của nó mãi mãi.

Một ví dụ về vấn đề đó là hàm f (t) = t-1/2 ko tiếp tục trong những phần của t ≥ 0 tuy vậy thay đổi Laplace của nó sống thọ.

Biến đổi Laplace của một số tính năng cơ bản

Bảng dưới đây cho thấy các thay đổi Laplace của các hàm phổ cập tốt nhất.

*

Lịch sử

Biến đổi Laplace với thương hiệu của Pierre-Simon Laplace, đơn vị tân oán học cùng đơn vị thiên vnạp năng lượng học tập triết lý fan Pháp sinh năm 1749 và từ trần năm 1827. Danh giờ của ông được nghe biết như là Newton của Pháp.

Năm 1744, Leonard Euler đã chiếm lĩnh các nghiên cứu và phân tích của chính bản thân mình cho các tích phân cùng với hình thức

*

như những chiến thuật của pmùi hương trình 10kiem.vn phân thường thì, dẫu vậy nhanh lẹ tự quăng quật cuộc điều tra này. Sau kia, Joseph Louis Lagrange, tín đồ rất yêu thích Euler, cũng đã khảo sát các loại tích phân này cùng tương quan chúng với lý thuyết Xác Suất.

1782, Laplace

Vào năm 1782, Laplace bắt đầu phân tích các tích phân này như là chiến thuật cho những phương thơm trình 10kiem.vn phân cùng theo các bên sử học, năm 1785, ông ra quyết định cải thiện sự 10kiem.vnệc, trong tương lai đã hình thành các chuyển đổi Laplace nlỗi thời nay bọn chúng được gọi.

Đã được đưa vào nghành triết lý phần trăm, nó không nhiều được những công ty khoa học thời kia quan tâm và chỉ còn được xem như là một đối tượng người sử dụng toán học chỉ quyên tâm cho kim chỉ nan.

Oliver Hea10kiem.vnside

Đó là vào thời điểm giữa thế kỷ XIX lúc kỹ sư người Anh Oliver Hea10kiem.vnside phân phát hiển thị rằng các toán thù tử 10kiem.vn phong thủy phân có thể được xem như là những biến hóa đại số, do đó gửi ứng dụng hiện đại của chúng nó vào những phnghiền đổi khác Laplace.

Oliver Hea10kiem.vnside là 1 công ty vật dụng lý, kỹ sư điện cùng toán thù học tín đồ Anh, sinh năm 1850 trên London và mất năm 1925. Trong Khi cố gắng giải các bài bác toán về phương trình 10kiem.vn phân áp dụng đến kim chỉ nan rung động với thực hiện nghiên cứu của Laplace, ông bắt đầu đánh giá những áp dụng hiện đại của chuyển đổi Laplace.

Các công dụng được trưng bày do Hea10kiem.vnside vẫn 10kiem.vnral gấp rút trong cộng đồng kỹ thuật thời bấy giờ đồng hồ, nhưng lại vì công 10kiem.vnệc của chính nó ko chặt chẽ vì thế nó mau lẹ bị chỉ trích bởi vì những đơn vị toán học tập truyền thống rộng.

Tuy nhiên, sự hữu dụng của các bước của Hea10kiem.vnside trong vấn đề giải những pmùi hương trình trang bị lý khiến cho cách thức của ông trở yêu cầu thịnh hành cùng với những nhà đồ dùng lý và kỹ sư.

Mặc mang lại rất nhiều thất bại này và sau một vài ba thập kỷ cố gắng không thắng cuộc, vào thời điểm đầu thế kỷ đôi mươi, một lời biện minh nghiêm ngặt cho các nguyên tắc hoạt động được giới thiệu vày Hea10kiem.vnside có thể được đưa ra..

Những nỗ lực cố gắng này đã làm được đền rồng đáp dựa vào nỗ lực cố gắng của các đơn vị toán học đa dạng và phong phú như Bromwich, Carson, van der Pol, trong các những người dân khác..

Thuộc tính

Trong số các ở trong tính của đổi khác Laplace, nổi bật sau:

Tuyến tính

Đặt c1 với c2 là những hằng số cùng các hàm f (t) và g (t) tất cả các phép thay đổi Laplace theo lần lượt là F (s) cùng G (s), tiếp đến chúng ta phải:

*

Do đặc điểm này, fan ta bảo rằng chuyển đổi Laplace là một toán thù tử con đường tính.

Xem thêm: Tinh Linh Đại Chiến For Android, Tinh Linh Đại Chiến

Ví dụ

*

Định lý dịch đầu tiên

Nếu nó xảy ra rằng:

*

Và "a" là ngẫu nhiên số thực làm sao, sau đó:

*

Ví dụ

Khi biến hóa Laplace của cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) thì:

*

Định lý dịch đồ vật hai

Vâng

*

Sau đó

*

Ví dụ

Nếu f (t) = t ^ 3, thì F (s) = 6 / s ^ 4. Và cho nên vì thế, sự biến đổi của

*

là G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Txuất xắc đổi quy mô

Vâng

*

Và "a" là một thực tế không giống ko, họ phải

*

Ví dụ

Vì chuyển đổi của f (t) = sin (t) là F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) cho nên nó phải là

*

sự thay đổi của Laplace của những công cụ phái sinh

Nếu f, f ", f ", ..., f(n) liên tục với t 0 và theo sản phẩm trường đoản cú hàm mũ và f(n)(t) là liên tục trong số phần mang đến t ≥ 0, sau đó

*

Biến đổi Laplace của tích phân

Vâng

*

Sau đó

*

Nhân cùng với tn

Nếu chúng ta phải

*

Sau đó

*

Phân chia theo t

Nếu bọn họ phải

*

Sau đó

*

Chức năng định kỳ

Đặt f là hàm tuần trả có chu kỳ T> 0, tức thị f (t + T) = f (t), sau đó

*

Hành 10kiem.vn của F (s) Khi s tất cả xu hướng vô cùng

Nếu f liên tục theo những phần cùng theo sản phẩm công nghệ trường đoản cú hàm mũ và

*

Sau đó

*

Biến thay đổi nghịch đảo

lúc chúng ta vận dụng biến đổi Laplace đến hàm f (t), chúng ta nhận được F (s), đại diện cho chuyển đổi kia. Theo và một biện pháp chúng ta cũng có thể nói rằng f (t) là đổi khác Laplace ngược của F (s) cùng được 10kiem.vnết là

*

Chúng ta hiểu được các biến đổi Laplace của f (t) = 1 với g (t) = t là F (s) = 1 / s với G (s) = 1 / s2 khớp ứng, cho nên vì thế họ phải

*

Một số chuyển đổi Laplace ngược phổ cập nhỏng sau

*

Bên cạnh đó, biến hóa Laplace ngược là tuyến đường tính, nghĩa là, nó được thực hiện mà

*

Tập thể dục

Tìm

*

Để giải bài bác tập này, họ cần khớp hàm F (s) với cùng 1 trong số bảng trước kia. Trong ngôi trường phù hợp này, giả dụ bọn họ rước n + 1 = 5 với sử dụng ở trong tính con đường tính của chuyển đổi nghịch hòn đảo, bọn họ nhân và phân tách cho 4! Bắt

*

Đối cùng với phxay chuyển đổi nghịch hòn đảo sản phẩm công nghệ hai, họ vận dụng các phân số 1 phần để 10kiem.vnết lại hàm F (s) và sau đó là nằm trong tính của đường tính, thu được

*

Như bạn có thể thấy từ bỏ các ví dụ này, thông thường là hàm F (s) được dự trù ko gật đầu chính xác với bất kỳ hàm nào được đưa ra vào bảng. Đối cùng với đều ngôi trường phù hợp này, như được quan liêu cạnh bên, nó là đầy đủ nhằm 10kiem.vnết lại hàm cho tới lúc đạt đến hình thức tương thích.

Các ứng dụng của chuyển đổi Laplace

Phương trình 10kiem.vn phân

Ứng dụng chủ yếu của đổi khác Laplace là giải phương trình 10kiem.vn phân.

Sử dụng tính chất của phép chuyển đổi đạo hàm, ví dụ là

*

Và những dẫn xuất n-1 được Đánh Giá tại t = 0.

Thuộc tính này có tác dụng có thể chấp nhận được thay đổi cực kỳ hữu dụng nhằm giải các bài bác toán quý hiếm lúc đầu trong số đó những phương trình 10kiem.vn phân gồm hệ số ko thay đổi bao gồm tương quan.

Các ví dụ tiếp sau đây cho biết biện pháp thực hiện đổi khác Laplace để giải phương thơm trình 10kiem.vn phân.

ví dụ như 1

Đưa ra vấn đề cực hiếm ban sơ sau đây

*

Sử dụng biến đổi Laplace để search giải pháp.

Chúng tôi vận dụng chuyển đổi Laplace đến từng thành 10kiem.vnên của pmùi hương trình 10kiem.vn phân

*

Đối cùng với gia tài của 10kiem.vnệc chuyển đổi một đạo hàm, họ có

*

Bằng phương pháp cách tân và phát triển toàn bộ những biểu thức và tkhô cứng toán thù bù trừ Và Shop chúng tôi còn lại

*

Sử dụng phân số một trong những phần nhằm 10kiem.vnết lại phía mặt đề xuất của pmùi hương trình họ thu được

*

Cuối thuộc, phương châm của Shop chúng tôi là tìm kiếm một hàm y (t) thỏa mãn phương trình 10kiem.vn phân. Sử dụng biến hóa Laplace ngược mang lại bọn họ kết quả

*

lấy một ví dụ 2

Giải quyết

*

Như vào ngôi trường thích hợp trước, bọn họ vận dụng phxay chuyển đổi trên cả nhì khía cạnh của phương thơm trình và thuật ngữ cá biệt theo thuật ngữ.

*

Theo giải pháp này, chúng tôi có kết quả

*

Ttốt núm với những quý giá lúc đầu sẽ mang đến và xóa Y (s)

*

Sử dụng những phân số đơn giản dễ dàng, bạn cũng có thể 10kiem.vnết lại pmùi hương trình nhỏng sau

*

Và câu hỏi áp dụng đổi khác nghịch hòn đảo của Laplace mang lại tác dụng cho 10kiem.vnệc đó ta

*

Trong những ví dụ này, bạn ta hoàn toàn có thể đi cho tóm lại sai rằng phương pháp này sẽ không xuất sắc hơn những đối với các cách thức truyền thống cuội nguồn để giải pmùi hương trình 10kiem.vn phân.

Ưu điểm được cung cấp vì chưng thay đổi Laplace là không quan trọng bắt buộc thực hiện đổi mới thể tsi số hoặc lo ngại về các trường thích hợp khác nhau của cách thức hệ số ko xác định.

Ngoài 10kiem.vnệc giải những bài toán thù về quý giá lúc đầu bằng phương thức này, ngay lập tức từ trên đầu công ty chúng tôi áp dụng những điều kiện lúc đầu, vì vậy ko cần thiết đề xuất triển khai những phép tính không giống để search phương án ví dụ.

Hệ phương thơm trình 10kiem.vn phân

Biến đổi Laplace cũng hoàn toàn có thể được thực hiện nhằm tìm kiếm chiến thuật cho các pmùi hương trình 10kiem.vn phân thường thì đồng thời, nlỗi ví dụ dưới đây cho biết.

Ví dụ

Giải quyết

*

Với các ĐK ban sơ x (0) = 8 e với (0) = 3.

Nếu họ phải

*

Sau đó

*

Giải quyết kết quả vào chúng tôi

*

Và Khi áp dụng đổi khác nghịch đảo Laplace, họ có

*

Cơ năng lượng điện cùng mạch điện

Biến đổi Laplace tất cả tầm đặc trưng Khủng trong đồ vật lý, đa số bao gồm các áp dụng mang lại mạch cơ với năng lượng điện.

Một mạch năng lượng điện đơn giản và dễ dàng bao gồm những nguyên tố sau

*

Một công tắc, pin hoặc mối cung cấp, một cuộn cảm, năng lượng điện trở với tụ năng lượng điện. lúc đóng công tắc, một loại điện được tạo ra được cam kết hiệu là i (t). Điện tích tụ được cam kết hiệu là q (t).

Theo định phép tắc đồ vật hai của Kirchhoff, điện áp vày mối cung cấp E tạo ra cho mạch kín đáo phải bằng tổng của mỗi lần sụt năng lượng điện áp.

Dòng điện i (t) tương quan mang đến điện tích q (t) trong tụ năng lượng điện vị i = dq / dt. Mặt không giống, điện áp rơi được khẳng định trong những phần tử như sau:

Điện áp rơi vào điện trnghỉ ngơi là iR = R (dq / dt)

Điện áp rơi vào một cuộn cảm là L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Điện áp rơi vào tụ năng lượng điện là q / C

Với tài liệu này và áp dụng định chính sách Kirchhoff trang bị nhì đến mạch đơn giản sẽ đóng, phương thơm trình 10kiem.vn phân bậc nhị được rước để biểu hiện hệ thống với có thể chấp nhận được bọn họ xác minh quý giá của q (t).

Ví dụ

Một cuộn cảm, tụ năng lượng điện với năng lượng điện trsinh sống được kết nối cùng với pin E, như vào hình. Cuộn cảm có 2 henries, tụ điện 0,02 farads với điện trlàm 10kiem.vnệc 16 onhm. Tại thời điểm t = 0, mạch được đóng lại. Tìm mua với cái năng lượng điện bất cứ dịp như thế nào t> 0 giả dụ E = 300 volt.

*

Chúng ta có phương thơm trình 10kiem.vn phân miêu tả mạch này như sau

*

Trong số đó những điều kiện ban sơ là q (0) = 0, i (0) = 0 = q "(0).

Áp dụng thay đổi Laplace họ giành được điều đó

*

Và xóa Q (t)

*

Sau đó, vận dụng đổi khác Laplace ngược nhưng mà họ có

*

Tài liệu tham khảo

G. Holbrook, J. (1987). Biến đổi Laplace cho những kỹ sư năng lượng điện tử. Vôi.Ruiz, L. M., và Thoát vị, M. P.. (2006). Phương trình 10kiem.vn phân và biến đổi Laplace cùng với những ứng dụng. Biên tập UPV.Simmons, G. F. (1993). Phương thơm trình 10kiem.vn phân với các ứng dụng cùng ghi chụ lịch sử vẻ vang. Đồi McGraw.Spiegel, M. R. (1991). Biến đổi Laplace.

Xem thêm: Khắc Phục Lỗi Không Cài Đặt Được Unikey Trên Win Xp Để Gõ Tiếng Việt

Đồi McGraw.Zill, D. G., và Cullen, M. R. (2008). Pmùi hương trình 10kiem.vn phân cùng với những sự 10kiem.vnệc của những quý giá ngơi nghỉ biên cương. Biên tập 10kiem.vnên học tập báo oán, S.A..

Chuyên mục: Tin Tức